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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA

Práctica 4 - Estudio de funciones

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4.4. Dadas las siguientes funciones ff definidas por y=f(x)y=f(x), indicar imagen, extremos absolutos y relativos en el dominio indicado en cada ítem. Graficar.
c) f(x)=x+1x2+1,x∈[−1,12]f(x)=\frac{x+1}{x^{2}+1}, x \in\left[-1, \frac{1}{2}\right]

Respuesta

Vamos a estudiar la función f(x)=x+1x2+1,x∈[−1,12]f(x)=\frac{x+1}{x^{2}+1}, x \in\left[-1, \frac{1}{2}\right] siguiendo la estructura que vimos en las clases de Maˊximos y mıˊnimos absolutos\textbf{Máximos y mínimos absolutos}. 

En este caso, ff está definida en un intervalo cerrado y acotado, [−1,12][-1,\frac{1}{2}], y es continua en este intervalo. Por lo tanto, por el Teorema de Weierstrass podemos asegurar que ff va a alcanzar máximo y mínimo absoluto en este intervalo. 

1)\textbf{1)} Empecemos derivando ff

Derivamos usando regla del cociente, deberías llegar a...

f′(x)=(x2+1)−(x+1)2x(x2+1)2 f'(x) = \frac{(x^2 + 1) - (x + 1)2x}{(x^2 + 1)^2}
Reacomodando...
f′(x)=−x2−2x+1(x2+1)2 f'(x) = \frac{-x^2 - 2x + 1}{(x^2 + 1)^2}

2)\textbf{2)} Igualamos f′f' a cero y despejamos:

−x2−2x+1(x2+1)2=0\frac{-x^2 - 2x + 1}{(x^2 + 1)^2} = 0 −x2−2x+1=0 -x^2 - 2x + 1 = 0

Si aplicás acá la fórmula resolvente, te van a quedar dos números que no parecen muy amigables, pero si, son esos: x=−1±2 x = -1 \pm \sqrt{2}

Por lo tanto, x=−1−2x=-1 -\sqrt{2} y x=−1+2x=-1 +\sqrt{2} son puntos críticos. Sin embargo, x=−1−2x=-1 -\sqrt{2} no pertenece al intervalo que estamos mirando, así que no lo consideramos. 

Además, acordate que los extremos del intervalo [−1,12][-1,\frac{1}{2}] también son extremos de la función. 

3)\textbf{3)} Evaluamos ff en los puntos críticos y en los extremos del intervalo

f(−1)=0→ f(-1) = 0 \rightarrow Mínimo absoluto f(12)=1.2 f\left(\frac{1}{2}\right) = 1.2 f(−1+2)≈1.2071...→ f(-1 + \sqrt{2}) \approx 1.2071... \rightarrow Máximo absoluto La imagen de ff es [f(−1),f(−1+2)][f(-1), f(-1 + \sqrt{2})]. Es decir, desde lo que vale la función en el mínimo absoluto hasta lo que vale la función en el máximo absoluto ;)
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